Методи розв`язання рівнянь містять параметр

Відзначимо наступні завдання (№ № 889, 914-917), що містять параметр, на дослідження функції на монотонність. Також відзначимо номери 926-929, тому що в них необхідно вирішити рівняння третього і четвертого ступеня графічним методом.
Особливу геометричне і алгебраїчне значення мають задачі з параметром, які запропоновані в розділі «Первісна та інтеграл». Запропоновано наступне завдання (номери 1061, 1062): знайти значення параметра, який міститься у функції, якщо відома площа фігури, що обмежена цією функцією.
У кінці вивчення курсу алгебри і початки аналізу в 11 класі виділено параграф для вирішення рівнянь, що містять параметр. У параграфі пояснюється, що таке параметр на найпростіших рівняннях, розглядаються лінійні і квадратні рівняння.
Завдання, які пропонуються для цієї теми, де запропоновані різні завдання для узагальнення всіх умінь розв'язання задач (номери 1855-1880).
Узагальнюючи всі завдання з параметром можна заявити, що даний підручник пропонує параметр як для поглибленого вивчення пройдених тем, як для вивчення безпосередньо самого параметра (див. [REF _Ref103319553 \ w \ h 36 ], [REF _Ref103319560 \ w \ h 37 ]).
2.3. Алімов Ш.А. та ін "Алгебра з 7 по 9 клас» і «Алгебра і початки аналізу 10 - 11 клас»
Почнемо аналіз цієї групи підручників з 7 класу.
Вже при вивченні теми «Рівняння з одним невідомим» пропонуються завдання, які містить задачі з параметром (№ № 123-125), де потрібно вирішити найпростіші лінійні рівняння на знаходження значення параметра, при яких рівняння має або не має коренів (№ 123,124) . Особливо можна виділити номер 125, який пропонується в задачах підвищеного рівня. Особливість завдань полягає в тому, що пропонуються лінійні, дрібно-раціональні і квадратні рівняння з параметром при старшому коефіцієнті.
Після розгляду різних способів розв'язання систем рівнянь з двома невідомими пропонуються завдання, одна з яких містить систему з двома параметрами, де необхідно знайти ці параметри, якщо система має єдине рішення; нескінченну безліч рішень, не має рішень (див. [REF _Ref103319574 \ w \ h 25 ]).
Алгебра 8 клас.
Рівняння, що містять параметр, зустрічаються вперше при вивченні квадратних рівнянь (№ № 414, 428, 442-443, 448). З них можна виділити номери 442, 443, 448, в яких пропонуються завдання на дослідження кількості коренів рівняння в залежності від значення параметра.
При вивченні квадратичної функції розглядається лише два номери із завданнями, що містять параметр (№ № 602, 603). У цих завданнях необхідно знайти значення параметра, якщо відомо перетин двох функцій в заданій точці і параметр, міститься в коефіцієнті однією з функцій.
На цьому автори припиняють використання параметра при вивченні тем підручника, але велику увагу приділяють параметру при повторенні. Пропонуються завдання, що містять параметр, в основному, для повторення квадратних рівнянь (№ № 791, 792, 809, 818, 819, 822). Всі номери одного характеру - дослідити коріння квадратного рівняння, тобто знайти кількість коренів або самі корені в залежності від значень параметра.
Рівняння аналогічного характеру автори наводять для позакласної роботи (№ № 889-896, 900, 902).
Висновки: Головним плюсом цього підручника є те, що автори застосовували рівняння, що містять параметр, саме там, де його використання дуже широко - при вивченні квадратних рівнянь. У цій темі кількість завдань, що містять параметр, не може бути обмежена.
При вивченні курсу алгебри 9 класу рівняння, що містять параметр пропонуються тільки в задачах для позакласної роботи (№ № 826-833). Пропонуються квадратні рівняння, де необхідно:
а) знайти значення параметра, при яких рівняння має чи не має коріння;
б) визначити приналежність коренів рівняння того чи іншого числовому безлічі.
Також пропонуються нерівності з параметром, де необхідно знайти значення параметра, якщо нерівність виконується при всіх значеннях невідомої (див. [REF _Ref103319582 \ w \ h 26 ]).
Алгебра і початки аналізу 10-11 клас.
У цьому підручнику при вивченні рівняння розглядається приналежність кореня множинам , . І це теж в якійсь мірі рівняння з параметром розв'язувані методом «розгалужень» (пункт REF _Ref103062990 \ r \ h 4.1.1 ). Аналогічно при розгляді рівняння , , .
Узагальнюючи знання, отримані при вивченні третього розділу «Тригонометричні рівняння і нерівності», запропоновано тригонометрическое рівняння четвертого ступеня з параметром, класифікована як завдання підвищеної складності.
При повторенні курсу алгебри і початки аналізу 10 класу в системі завдань не зустрічається завдань з параметром і можна стверджувати, що в системі вивчення цього курсу автори не приділяють уваги до параметру як такого.
При вивченні похідної автори пропонують чотири вправи з параметром (№ № 544-547), де дана функція, що залежить як від невідомої, так і від параметра і потрібно знайти значення параметра, якщо похідна має певний знак або дорівнює нулю.
При вивченні ж теми «Застосування похідної до дослідження функцій» система задач містить всього одне завдання з параметром (№ 559).
Аналогічно, в системі завдань теми «Інтеграл» запропонована всього одне завдання з параметром (№ 670), де потрібно знайти площу фігури, обмеженої параболою, де укладено параметр, і прямий.
При повторенні курсу алгебри і початки аналізу 11 класу запропоновано одне завдання з параметром (№ 718). У системі завдань при підсумковому повторенні всього курсу алгебри містяться задачі з параметром, аналогічні усіх розглянутих раніше (у попередніх підручниках і даному). Такими є: № № 781, 782 - це при повторенні рішення рівнянь; № № 828-830 - при повторенні рішення нерівностей.
Висновки: Головним плюсом цього підручника є те, що запропоновані зразкові види завдань, що пропонувалися на вступних іспитах до вузів. Одними з таких завдань є завдання з параметром (№ № 974-976).
На відміну від підручника Мордкович система завдань з параметрами запропонована тільки для поглибленого вивчення та повторення пройденого матеріалу (див. [REF _Ref103319246 \ w \ h 27 ]).
Проведений аналіз дозволяє зробити наступні висновки:
· У кожному проаналізовані підручники завдання, що містять параметр, використовується для перевірки знань і вмінь, набутих під час вивчення тієї чи іншої теми. Пропонуються завдання творчого характеру, що вимагають від учнів застосування отриманих знань і умінь у нестандартних умовах;
· Ні в одному з розглянутих підручників не дається чіткого визначення параметра;
· У всіх підручниках завдання однотипні;

3. Основні види рівнянь, що містять параметр
3.1. Лінійні та квадратні рівняння, що містять параметр
Лінійні та квадратні рівняння, що містять параметр, можна об'єднати в одну групу - групу рівнянь з параметром не вище другого ступеня.
Рівняння з параметром не вище другого ступеня є найбільш поширеними в практиці підсумкових і конкурсних завдань. Їх загальний вигляд визначається многочленом . Для таких рівнянь всяке приватне рівняння не вище другого ступеня належить одному з наступних типів:
1. , Тоді ,
2. і , Тоді рішень немає,
3. і , Тоді ,
4. , , Тоді ,
5. , , Тоді рішень немає,
6. , , Тоді .
Контрольні значення параметра визначаються рівнянням . На виділених контрольними значеннями проміжках допустимих значень параметра дискримінант має певний знак, відповідні приватні рівняння належать одному з двох останніх типів.
Тоді рішенням будь-якого рівняння з параметром не вище другого ступеня здійснюється за такими етапами:
1. На числовій прямій зазначаються всі контрольні значення параметра, для яких відповідні приватні рівняння не визначені.
2. На області допустимих значень параметра вихідного рівняння за допомогою рівносильних перетворень приводиться до виду .
3. Виділяють безліч контрольних значень параметра, для яких .
Якщо рівняння має кінцеве безліч рішень, то для кожного знайденого контрольного значення параметра відповідне приватне рівняння вирішується окремо. Проводиться класифікація приватних рівнянь за першими трьома типами.
На нескінченній множині розв'язків рівняння проводиться рішення рівняння , Виділяються типи нескінченних і порожніх особливих приватних рівнянь. Безлічі значень параметра, для яких і , Відповідає третій тип не особливих приватних рівнянь.
4. Виділяються контрольні значення параметра, для яких дискримінант звертається в нуль. Відповідні не особливі приватні рівняння мають дворазовий корінь .
5. Знайдені контрольні значення параметра розбивають область допустимих значень параметра на проміжки. На кожному із проміжків визначається знак дискриминанта.
Безлічі значень параметра, для яких і , Відповідає тип не особливих приватних рівнянь, які не мають рішень, для значень параметра з безлічі, де і , Приватні рівняння мають два різних дійсних корені (див. [REF _Ref103319362 \ w \ h 1 ], [REF _Ref103319628 \ w \ h 7 ]).
Приклад. Розв'язати рівняння
2а ∙ (а-2) ∙ х = а-2. (2)
Рішення. Тут контрольними будуть ті значення параметра, при яких коефіцієнт при х звертається до 0. Такими значеннями є, а = 0 і а = 2. При цих значеннях параметра а, неможливо поділ обох частин рівняння на коефіцієнт при х. У той же час при значеннях параметра а ≠ 0 і а ≠ 2 розподіл можливо. Таким чином, доцільно безліч всіх дійсних значень параметра розбити на підмножини
A ₁ = {0}, А ₂ = {2} і А ₃ = {а ≠ 0, а ≠ 2}
і вирішити рівняння (2) на кожному з цих підмножин, тобто розв'язати рівняння (2) як сімейство рівнянь, які утворюються з нього при наступних значеннях параметра: 1) а = 0; 2) а = 2, 3) а ≠ 0 , а ≠ 2.
Розглянемо ці випадки.
1) При а = 0 рівняння (2) приймає вигляду 0 ∙ х = 2. Це рівняння не має коренів.
2) При а = 2 рівняння (2) приймає вигляду 0 ∙ х = 0. Коренем цього рівняння є будь-яке дійсне число.
3) При а ≠ 0, а ≠ 2 рівняння відповідає третьому типу звідки х = = .
0твет: 1) якщо а = 0, то коріння немає;
2) якщо а = 2, то x - будь-яке дійсне число;
3) якщо а ≠ 0, а ≠ 2, то x = .
Приклад. Розв'язати рівняння
(А - 1) ∙ х ² +2 ∙ (2 а +1) ∙ х + (4 а +3) = 0. (3)
Рішення. У даному випадку контрольним значенням параметра a є одиниця. Справа в тому, що при a = 1 рівняння (3) є лінійним, а при а ≠ 1 воно квадратне (в цьому і полягає якісна зміна рівняння). Значить, доцільно розглянути рівняння (3) як сімейство рівнянь, які утворюються з нього при наступних значеннях параметра: 1) a = 1, 2) а ≠ 1.
Розглянемо ці випадки.
1) При a = 1 рівняння (3) прийме вигляд 6 х +7 = 0. З цього рівняння знаходимо х = - .
2) З безлічі значень параметра а ≠ 1 виділимо ті значення, при яких дискримінант рівняння (3) звертається до 0.
Справа в тому, що якщо дискримінант D = 0 при а = а _про, то при переході значення D через крапку а _про дискримінант може змінити знак (наприклад, при а <а _про D   <0, а при а> а _про D> 0). Разом з цим при переході через точку а _про міняється і число дійсних коренів квадратного рівняння (у нашому прикладі при а <а _про коренів немає, так як D   <0, а при а> а _про D   > 0 рівняння має два кореня). Значить, можна говорити про якісну зміну рівняння. Тому значення параметра, при яких звертається до 0 дискримінант квадратного рівняння, також відносять до контрольних значень.
Складемо дискримінант рівняння (3):
= (2 а + l) ² - (а - 1) (4 а +3). Після спрощень отримуємо = 5 а +4.
З рівняння = 0 знаходимо - Друге контрольне значення параметра а. При цьому якщо , То D <0; якщо , То D ≥ 0; і .
Таким чином, залишилося вирішити рівняння (3) у випадку, коли і у випадку, коли і .
Якщо , То рівняння (3) не має дійсних коренів;
якщо ж і , То знаходимо ;
якщо , То і тоді .
Відповідь: 1) якщо , То коріння немає;
2) якщо а = 1, то x = ;
3) якщо , То ;
4) якщо , То .
3.2. Дрібно-раціональні рівняння, що містять параметр, що зводяться до лінійних
Процес рішення дробово-раціональних рівнянь протікає за звичайною схемою: дане рівняння замінюється цілим шляхом множення обох частин рівняння на спільний знаменник лівої і правої його частин. Після чого учні вирішують відомим їм способом ціле рівняння, виключаючи сторонні корені, тобто числа, які звертають загальний знаменник в нуль. У випадку рівнянь з параметрами це завдання більш складна. Тут, щоб сторонні корені виключити, потрібно знаходити значення параметра, що звертає загальний знаменник в нуль, тобто вирішувати відповідні рівняння щодо параметра (див. [REF _Ref103319362 \ w \ h 1 ]).
Приклад. Розв'язати рівняння
. (4)
Рішення. Значення а = 0 є контрольним. При a = 0 рівняння (4) втрачає сенс і, отже, не має коренів. Якщо а ≠ 0, то після перетворень рівняння (4) набуде вигляду:
х ² +2 (1 - а) х + а ² - 2 а - 3 = 0. (5)
Знайдемо дискримінант рівняння (5) = (1 - a) ² - (a ² - 2 а - 3) = 4. Знаходимо корені рівняння (5): х ₁ = а + 1, х ₂ = а - 3. При переході від рівняння (4) до рівняння (5) розширилася область визначення рівняння (4), що могло призвести до появи сторонніх коренів. Тому необхідна перевірка.
Перевірка. Виключимо зі знайдених значень х такі, при яких х ₁ +1 = 0, х ₁ +2 = 0, х ₂ +1 = 0, х ₂ +2 = 0.
Якщо х ₁ +1 = 0, тобто (а +1) +1 = 0, то а = - 2.
Таким чином, при а = - 2 х ₁ - сторонній корінь рівняння (4).
Якщо х ₁ +2 = 0, тобто (а +1) +2 = 0, то а = - 3.
Таким чином, при а = - 3 x ₁ - сторонній корінь рівняння (4).
Якщо х ₂ +1 = 0, тобто (а-3) +1 = 0, то а = 2.
Таким чином, при а = 2 х ₂ - сторонній корінь рівняння (4) '.
Якщо х ₂ +2 = 0, тобто (а - 3) +2 = 0, то а = 1.
Таким чином, при а = 1 х ₂ - сторонній корінь рівняння (4).
При а = - 3   отримуємо х = - 6; при a = - 2 х = - 5;
При a = 1 х = 1 +1 = 2; при a = 2 х = 2 +1 = 3. Отже, можна записати
Відповідь: 1) якщо a = - 3, то x = - 6;
2) якщо a = -2, то х = - 5;
3) якщо a = 0, то коріння немає;
4) якщо a = 1, то x = 2;
5) якщо а = 2, то x = 3;
6) якщо , То х ₁ = а + 1, х ₂ = а - 3.
3.3. Ірраціональні рівняння, що містять параметр
Головними особливостями при вирішенні рівнянь такого типу є:
1. обмеження області визначення невідомої х, так як вона змінюється в залежності від значення параметра.
2. у вирішенні рівнянь виду при зведенні в квадрат необхідно враховувати знак і проводити перевірку коренів.
При розгляді будь-яких спеціальних випадків і зведенні обох частин ірраціонального рівняння в квадрат ми переходимо до вирішення квадратного рівняння з параметром.
Розглянемо кілька прикладів і спробуємо помітити ці особливості при рішенні (див. [REF _Ref103319362 \ w \ h 1 ]).
Приклад. Розв'язати рівняння х - = 1. (6)
Рішення: метод рішення: зведемо в квадрат обидві частини ірраціонального рівняння з подальшою перевіркою отриманих рішень.
Перепишемо вихідне рівняння у вигляді:
(7)
При зведенні в квадрат обох частин вихідного рівняння і проведення тотожних перетворень отримаємо:
2 х ² - 2 х + (1 - а) = 0, D = 2 а - 1.
Особливе значення: а = 0,5. Звідси:
1) при а> 0,5 х _1,2 = 0,5 ∙ (1 ± );
2) при а = 0,5 х = 0,5;
3) при а <0,5 рівняння не має рішень.
Перевірка:
1) при підстановці х = 0,5 у рівняння (7), рівносильну вихідного, отримаємо невірне рівність. Значить, х = 0,5 не є рішенням (7) і рівняння (6).
2) при підстановці х ₂ = 0,5 (1 - ) В (7) отримаємо:
-0,5 (1 + ) =
Оскільки ліва частина рівності негативна, то x ₂ не задовольняє вихідному рівнянню.
3) Підставимо х ₁ = 0,5 (1 + ) В рівняння (7):
.
Провівши рівносильні перетворення, отримаємо:
Якщо , То можна звести отримане рівність в квадрат:
.
Маємо істинне рівність за умови, що .
Ця умова виконується, якщо а ≥ 1. Так як рівність істинно при а ≥ 1, а х ₁ може бути коренем рівняння (6) при а> 0,5, отже, х ₁ - корінь рівняння при а ≥ 1.
Відповідь.
1. при а ≥ 1 х = 0,5 ∙ (1 + );
2. при а <1 рівняння не має рішень.
3.4. Показові рівняння, що містять параметр
Більшість показникових рівнянь з параметрами зводиться до показових рівнянь виду: а ^{f (x)} = b ^{φ (х) (*),} де а> 0, b> 0.
Область допустимих значень такого рівняння перебуває як перетин областей допустимих значень функцій f (x) і φ (х). Для рішення рівняння (*) необхідно розглянути наступні випадки:
1) При а = b = 1 рішенням рівняння (*) є область його допустимих значень D.
2) При а = 1, b ≠ 1 рішенням рівняння (*) є рішення рівняння φ (х) = 0 на області допустимих значень D.
3) При а ≠ 1, b = 1 рішення рівняння (*) знаходиться як розв'язок рівняння f (х) = 0 на області D.
4) При а = b (а> 0, а ≠ 1, b> 0, b ≠ 1) рівняння (*) рівносильне рівнянню f (х) = φ (х) на області D.
5) При а ≠ b (а> 0, а ≠ 1, b> 0, b ≠ 1) рівняння (*) тотожне рівнянню (C> 0, c ≠ 1) на області D (див. [REF _Ref103319362 \ w \ h 1 ]).
Приклад. Розв'язати рівняння: а ^{х + 1} = b ^{3 - х}
Рішення. ОДЗ рівняння: х R, а> 0,   b> 0.
1) При а ≤ 0, b ≤ 0 рівняння не має сенсу;
2) При а = b = 1, х R;
       3) При а = 1, b ≠ 1 маємо: b ^{3 - х} = 1 або 3 - х = 0 х = 3;
4) При а ≠ 1, b = 1 отримаємо: а ^{х + 1} = 1 або х + 1 = 0 х = -1;
5) При а = b (а> 0, а ≠ 1, b> 0, b ≠ 1) маємо: x + 1 = 3 - х х = 1;
6) При , отримаємо: рівняння , Яке не має рішення;
7) При а ≠ b і (А> 0, а ≠ 1, b> 0, b ≠ 1) прологаріфміруем вихідне рівняння за основою а, отримаємо:
, Х + 1 = (3 - х) log _a b, .
Відповідь: при а ≤ 0, b ≤ 0 або , рівняння не має рішень;
при а = b = 1, х R;
при а = 1, b ≠ 1 х = 3;
при а ≠ 1, b = 1 х = -1;
при а = b (а> 0, а ≠ 1, b> 0, b ≠ 1) х = 1;
при а ≠ b (а> 0, а ≠ 1, b> 0, b ≠ 1) .
3.5. Логарифмічні рівняння, що містять параметр
Рішення логарифмічних рівнянь з параметрами зводиться до знаходження коренів елементарного логарифмічного рівняння. Важливим моментом розв'язання рівнянь такого типу є перевірка приналежності знайдених коренів ОДЗ вихідного рівняння (див. [REF _Ref103319362 \ w \ h 1 ]).
Приклад. Розв'язати рівняння
2 - log (1 + х) = 3 log _а - Log (Х ² - 1) ^2.
Рішення. ОДЗ: х> 1, а> 0, а ≠ 1.
Здійснимо на ОДЗ ланцюжок рівносильних перетворень вихідного рівняння:
log _а а ² + log _a (х ² - 1) = log _а ( ) ³ + log _a ,
log _{а (а} ² (х ² - 1)) = log _а (( ) ³ ),
а ² (х ² - 1) = (х - 1) ,
а ² (х - 1) (x + 1) = (х - 1) .
Так як х ≠ -1 і х ≠ 1, скоротимо обидві частини рівняння на (х - 1) та на . Тоді отримаємо = .
Зведемо обидві частини отриманого рівняння в квадрат:
а ⁴ (х + 1) = х - 1 а ⁴ х + а ⁴ = х - 1 х (1 - а ⁴⁾ = а ⁴ + 1.
Так як а ≠ -1 і а ≠ 1, то .
Для того щоб значення х було рішенням рівняння, повинна виконуватися умова х> 1, тобто .
З'ясуємо, за яких значеннях параметра а, це нерівність істинно:
, .
Так як а> 0, то отримана дріб позитивна, якщо 1 - а ^4> 0, тобто при а <1.
Отже, при 0 <a <1 x> 1, означає при 0 <a <1 х є коренем вихідного рівняння.
Відповідь: при а ≤ 0, а = 1 рівняння не має сенсу;
при а> 1 рішень немає;
при 0 <a <1 .
Зауваження: Тригонометричні рівняння, що містять параметр, не розглядаємо, тобто, не розглядаємо методи розв'язання рівнянь такого виду, так як існує велика кількість специфічних методів рішення, саме, тригонометричних рівнянь, що містять параметр. Для цих методів існує велика кількість матеріалу, дослідження якого може розглядатися, як окрема тема.
4. Основні методи розв'язання рівнянь, що містять параметр
4.1. Аналітичний метод
4.1.1. Пошук рішень рівнянь, що містять параметр. Метод «розгалуження»
На самому початку знайомства з параметром в учнів виникає якийсь психологічний бар'єр, який обумовлений суперечливими характеристиками параметра. З одного боку, параметр у рівнянні слід вважати величиною відомою, а з іншого - він може приймати різні значення. Виходить, що параметр в рівнянні - це невідома відома, мінлива постійна величина. Цей «каламбур» дуже точно відображає суть тих складнощів, які потрібно долати учням.
Саме цей факт і дозволяє нам вирішувати рівняння з параметром таким методом («розгалуження») (див. [REF _Ref103319701 \ w \ h 5 ], [REF _Ref103319710 \ w \ h 6 ], [REF _Ref103319718 \ w \ h 10 ], [REF _Ref103319726 \ w \ h 13 ]).
Приклад. Розв'язати рівняння .
Рішення. Нехай . Тоді
Переходимо до рівносильній системі

Очевидно, при рівняння системи не має рішення.
Якщо , То тоді

Отже, потрібно перевірити умови і . Тобто

вирішуючи з системи перше нерівність, отримуємо що .
Рішенням другого є . Рішенням системи буде те що інтервалів, а, саме, .
Відповідь. Якщо , То ;
при інших значеннях параметра a рівняння рішень не має.
Приклад. Розв'язати рівняння .
Рішення. Маємо .
Досить розглянути три випадки:
1. .
2. .
.

Роблячи заміну , Отримуємо, що або . Тобто або . Перевіримо, чи є знайдені значення змінної корінням. Підставляючи значення змінної в рівняння, отримуємо, що не підходить, тоді корінням є значення .
3.


Роблячи заміну , Отримуємо або . Аналогічно, як і при , Перевіркою встановлюємо, що тільки і не є корінням. Тоді є коренем. Отже,
Відповідь. При , ;
при ;
при , .
4.1.2. Параметр і кількість рішень рівнянь, що містять параметр
Виділимо клас задач, де за рахунок параметра на змінну накладається будь-які обмеження. Для таких завдань характерні наступні формулювання:
· «При якому значенні параметра рівняння має одне рішення, два рішення, нескінченно багато, ні одного»;
· Рішенням рівняння (нерівності, системи) є якесь підмножина множини дійсних чисел та інші (див. [REF _Ref103319701 \ w \ h 5 ]).
Приклад. Залежно від значення параметра знайти число коренів рівняння

Рішення. Наявність складного кореня наводить на думку виділення квадрата двочлена під зовнішнім коренем.

Отже, ми впритул підійшли до завдання розгляду різних випадків параметра .
Якщо , То рівняння не має розв'язку.
Якщо , То розглянемо . Якщо , То . За умови , І очевидно це рівняння має тільки один корінь.
Відповідь. При - Одне рішення,
при - Рішень немає.
Приклад. При яких значеннях параметра рівняння

має єдине рішення?
Рішення. Рівняння переписуємо у рівносильну систему

Рішенням нерівності є об'єднання проміжків . Рівняння системи має один корінь коли . , Тобто при .
Тепер перевіримо, чи належить корінь нашим інтервалам: . Тоді
Відповідь. При рівняння має єдине рішення.
Приклад. При яких значеннях параметра рівняння
.
має єдине рішення?
Рішення. Запишемо равносильное рівняння.
.
Тепер перейдемо до слідства . Звідки , . Виникла ситуація, яка дає нам можливість скористатися механізмом відсіювання коренів.
Область визначення вихідного рівняння знайдемо з умов

Очевидно, і задовольняють першим двом умовам. Тоді для єдиності рішення досить зажадати

Знайдемо рішення першої системи, перетворимо її.

Маємо, що рішенням першої системи є об'єднання інтервалів .
Друга система рішення не має.
Відповідь. .
4.1.3. Параметр і властивості рішень рівнянь, що містять параметр
У цьому пункті ми розглянемо задачі, в яких умова вимагає, щоб відповідь була яким-небудь наперед заданим підмножиною або йдуть обмеження на безліч значень змінної (Див. [REF _Ref103319701 \ w \ h 5 ], [REF _Ref103319765 \ w \ h 12 ], [REF _Ref103319726 \ w \ h 13 ]).
Приклад. При яких значеннях параметра обидва кореня рівняння більше 3?
Рішення. Корінням даного рівняння будуть

Для умови необхідно виконання системи

Перше нерівність системи і друге будуть мати спільні точки тільки в тому випадку якщо вираз під коренем дорівнює нулю.
Вирішимо рівняння .
Відповідь. Ні за яких значеннях параметра обидва кореня даного рівняння не можуть бути більше 3.
4.1.4. Параметр як рівноправна мінлива
У всіх розібраних завдань параметр розглядався як фіксована, але невідоме число. Між тим з формальної точки зору параметр - це змінна, причому рівноправна з іншими. Подібна інтерпретація, природно, формує ще один тип (а точніше метод рішення) завдань з параметрами (див. [REF _Ref103319701 \ w \ h 5 ]).
Приклад. Вказати всі значення параметра , Для яких рівняння має рішення?
Рішення. Позначимо . Вихідне рівняння , З урахуванням , Рівносильно системі

Розглянемо квадратне рівняння, щодо параметра . Знайдемо дискримінант розглянутого рівняння .
, Так як і , То . Тому остання система рівносильна
Розглянемо функцію . Вершина параболи - є точка з координатами . Мінімум функції є значення ординати вершини параболи. Тому можемо стверджувати, що параметр приймає значення на відрізку на відрізку .
Відповідь.
Зауваження: інший спосіб рішення буде розглянуто пізніше (див. пункт REF _Ref101707432 \ r \ h 4.2.4 ).
Приклад. Розв'язати рівняння .
Важливо показати при вивченні параметрів зв'язок параметра з конкретними значеннями і це завдання показує цей зв'язок. Мета цього завдання в тому, щоб показати що завдання, що не містять параметр, можна вирішувати і способами вирішення рівнянь, що містять параметр. Рішення цього рівняння показує, що дослідження різних рішень з параметрами дозволяє вирішувати завдання більш простими методами.
Рішення. Це рівняння рівносильне системі

Уявімо рівняння системи у вигляді квадратного рівняння щодо числа 5.

Звідки, враховуючи , Отримуємо
Відповідь. .
4.1.5. Методи пошуку необхідних умов. Використання симетрії аналітичних виразів
У тих випадках, коли безпосередній пошук значень змінної утруднений, можна спочатку виділити необхідні умови, а потім від необхідних умов перейти до достатніх умов.
Будемо називати завдання, які вирішуються таким методом, завданнями з пошуком необхідних умов.
Необхідні умови задач цього пункту:
1) У кожного завдання обов'язково фігурує аналітичний вираз, геометричний образ якого має вісь або площину симетрії.
2) У всіх завданнях в тій або іншій формі присутня вимога єдиності рішення.
Якщо описувані завдання мають рішенням координати точки М, то знайдеться симетрична точка М _1, координати якої теж є рішенням, тоді точка М повинна лежати (в силу єдиності рішення) на осі симетрії, але зауважимо, що ця вимога не є достатнім.
Висловлені міркування і складають основу одного з методу пошуку необхідних умов, про яке буде йти мова в наступних завданнях (див. [REF _Ref103319362 \ w \ h 1 ], [REF _Ref103319701 \ w \ h 5 ], [REF _Ref103319765 \ w \ h 12 ]).
Приклад. За яких рівняння має одне рішення.
Рішення. При заміні на (І навпаки) рівняння не змінює сенсу, тому якщо точка з координатами - Рішення те і - Рішення. А так як в умові необхідно єдиність рішення, то .
Тоді . Так як , То , Що можливо тільки для випадку рівності і при . Тоді отримуємо . Звідки знаходимо два кореня рівняння, а в силу єдиності, дискримінант прирівнюємо до нуля і одержуємо .
Відповідь. При рівняння має один розв'язок.
4.1.6. «Каркас» квадратичної функції. Дискримінант, старший коефіцієнт.
Фактично всі важливі властивості квадратичної функції визначаються таблицею. Де - Конструюють «каркас», на якому будується теорія квадратичної функції (див. [REF _Ref103319362 \ w \ h 1 ], [REF _Ref103320090 \ w \ h 2 ], [REF _Ref103319701 \ w \ h 5 ], [REF _Ref103319628 \ w \ h 7 ], [REF _Ref103319929 \ w \ h 8 ], [REF _Ref103319952 \ w \ h 18 ], [REF _Ref103320026 \ w \ h 21 ], [REF _Ref103320139 \ w \ h 22 ])

Приклад. При яких значеннях параметра всі пари чисел , Що задовольняють нерівності , Одночасно задовольняють і ?
Рішення. Часто буває зручно почати вирішення завдання з розгляду спрощеної моделі. Так, в конкретному випадку доречно поставити завдання: при якому співвідношенні і всі рішення нерівності одночасно є рішеннями нерівності . Відповіддю на це питання очевидна: .
Тоді в цьому прикладі потрібно, щоб при всіх .
.
Знайдемо дискримінант, . Дискримінант менший або рівний нулю визначить шуканий параметр.
, Що рівносильно системі

-3

3

0

+

+

_

_

Відповідь.
4.1.7. «Каркас» квадратичної функції. Вершина параболи
Приклад. При яких значеннях найбільше значення тричлена менше 4.
Рішення.
a. Так як графіком тричлена є парабола, то необхідність найбільшого значення меншого 4 зобов'язує параметр .
b. Найбільше значення буде у вершині параболи.
. Обмеження теж обов'язково. Рішенням цієї нерівності є . З огляду на необхідність , То .

так як , То рішенням буде об'єднання . Тоді Відповідь. .
4.1.8. Коріння квадратичної функції. Теорема Вієта
Розглянемо квадратне рівняння . Знайдемо коріння цього рівняння . По теоремі Вієта виконується наступна система рівнянь , Де і . Розглянемо завдання, вирішення якої при використанні теореми Вієта набагато спрощується.
Приклад. При якому значенні параметра сума квадратів коренів рівняння приймає найменше значення?
Рішення. Знайдемо дискримінант, . Рівняння має два кореня при будь-якому . Використовуючи теорему Вієта, знайдемо . Таким чином, знайдемо найменше значення функції на множині . Оскільки при , А при , То найменше значення при .
Відповідь. .
4.1.9. Апарат математичного аналізу (дотична до прямої)
Учні, як правило, не можуть з визначенням дотичній до кривої (типовий помилкову відповідь: «Дотична - це пряма, що має з кривою одну спільну точку»), не бачать зв'язок між дотичною до графіка та її похідної, не розуміють сенсу змінних в рівнянні дотичній, не можуть застосувати відповідні факти до вирішення завдань, особливо геометричного характеру. Пояснити учням суть речей можуть допомогти, наприклад, такі завдання (див. [REF _Ref103319362 \ w \ h 1 ], [REF _Ref103319701 \ w \ h 5 ], [REF _Ref103319862 \ w \ h 19 ], [REF _Ref103320026 \ w \ h 21 ]).
Приклад. При якому значенні параметра k дотична до графіка функції утворює з віссю ОХ кут, рівний , І відсікає від другої чверті трикутник, площа якого дорівнює ?
Рішення. Нехай - Координати точки дотику. Рівняння дотичної до графіка функції в точці має вигляд
.
За умовою маємо , . Тоді . Рівняння дотичної стає таким: . Знайдемо координати точки перетину дотичної з осями.
При .
При .
Тоді, з урахуванням другій чверті і :

Відповідь.
Приклад. Знайти всі значення параметра , При яких на графіку функції існує єдина точка з негативною абсцисою, дотична в якій паралельна прямій .
Рішення. Ясно, що кутовий коефіцієнт дотичної, про яку йдеться в умові, дорівнює 2. Тоді, якщо - Абсциса точки дотику, то , Тобто .
Залишається вимагати, щоб це рівняння мало єдиний корінь. . При рівняння не має сенсу, при рівняння рівносильне:

Введемо заміну . Тоді . Для єдиності кореня необхідно, щоб дискримінант дорівнював нулю, .

За таких значеннях параметра коренем рівняння є , Який, як очевидно, приймає негативні значення.
Відповідь. .
Приклад. Знайти критичні точки функції .
Рішення. Нагадаємо визначення критичної точки. Внутрішня точка області визначення функції, в якій похідна дорівнює 0 або не існує, називається критичною.
Маємо . Оскільки знайдена похідна існує в усіх внутрішніх точках області визначення функції , То критичні точки слід шукати серед коренів рівняння , Звідки . Залишилося вимагати, щоб .
Відповідь. Якщо , То - Критична точка;
якщо - Критичних точок немає.
4.2. Властивості функцій в задачах, що містять параметр. Функціональний підхід
Учні не завжди вміють свідомо використовувати інформацію про властивості функцій, наприклад, про її множині значень, безперервності, екстремум і так далі.
Багато школярів лише формально засвоюють поняття похідної, не розуміють її геометричного сенсу. Є проблеми і при вивченні понять первісної та інтеграла. Завдання, які наведені нижче, покликані пояснити школяреві сенс всіх цих понять і показати можливості їх застосування (див. [REF _Ref103319818 \ w \ h 14 ]).
Запропоновані завдання класифіковані залежно від того, яке властивість функції є основним у рішенні.
4.2.1. Область значення функції
Іноді завдання не містять прямої підказки використовувати область значення функції. Така необхідність виникає в ході рішення. [REF _Ref103319701 \ w \ h 5 ], [REF _Ref103319818 \ w \ h 14 ]
Приклад. Розв'язати рівняння .
Рішення. Так як , То нехай . Отримуємо . Очевидно, при рішення є. Знайдемо коріння , Так як , То розглянемо три випадки:
1. , Тоді
2. ,
3. ,
Відповідь. Якщо , То ;
якщо , То ;
якщо , То .
Приклад. Розв'язати рівняння .
Рішення. Розглянемо область допустимих значень . Звідси , . Тоді отримуємо равносильное рівняння
.
Звідки . Врахуємо два випадки, так як , То .
1. . Тоді .
2. . При , А . Цей випадок ми розглянули. Тоді розглянемо випадок . Звідки . Отже,
Відповідь. Якщо рішень немає;
якщо , ;
якщо , .
4.2.2. Найбільше і найменше значення я
При вирішенні завдань вельми корисним виявляється таку обставину. Якщо в рівнянні , Де , , А для всіх , То можна перейти до рівносильній системі рівнянь (див. [REF _Ref103319701 \ w \ h 5 ], [REF _Ref103319818 \ w \ h 14 ], [REF _Ref103319862 \ w \ h 19 ])
Приклад. Розв'язати рівняння .
Рішення. Зробимо перетворення правій частині. . Тоді наше рівняння буде мати вигляд .
Оцінимо ліву і праву частини рівняння . Тоді укладаємо, що обидві частини рівняння повинні бути рівні одиниці і це нас приводить до системи
Запишемо рівносильну систему
Висловимо х з першого рівняння системи і підставимо в друге рівняння.

Рішенням останньої системи будуть і .
Тоді Відповідь. Якщо , То
Якщо , То .
Приклад. Знайти всі дійсні значення , При яких область визначення функції

збігається з безліччю всіх дійсних чисел.
Рішення. Область визначення буде все дійсні числа, якщо функція буде визначена, тобто завдання полягає в знаходженні значень параметра .
Для цього необхідно вирішити систему

Враховуючи умову , Рішенням останнього нерівності буде інтервал .
Відповідь. При умова виконується.
4.2.3. Монотонність
Насамперед зазначимо, що у разі зростання (спадання) функції має місце равносильность рівнянь і (Див. [REF _Ref103319701 \ r \ h 5 ], [REF _Ref103319818 \ r \ h 14 ]).
Приклад. Розв'язати рівняння
Рішення. Так як функція монотонна і зростає, а значення праворуч фіксовано, то дане рівняння має не більше одного кореня. Легко помітити, що - Корінь.
Відповідь. .
Приклад. Для вирішити рівняння

Рішення. Перепишемо дане рівняння у вигляді .
Нехай .
Тоді вихідне рівняння стає таким

Розглянемо функцію . Функція зростає на проміжку , Так як , То . Отже, належать проміжку монотонності функції . Звідси маємо . Тоді , Тобто . Зіставимо з вихідним і отримаємо .
Для отримане квадратне рівняння має позитивний дискримінант .
Відповідь. .
Зауваження: інший спосіб рішення буде розглянуто нижче (у пункті REF _Ref101709628 \ r \ h 4.2.4 ).
Приклад. Визначити число коренів рівняння .
Рішення. Маємо .
Функція зростає на . Тоді . Вихідне рівняння має не більше одного кореня. При він єдиний.
Відповідь. Якщо , То рівняння має єдиний корінь;
якщо , Коренів немає.
4.2.4. Парність. Періодичність. Оборотність
Приклад. Вказати всі значення параметра , Для яких рівняння має рішення (див. [REF _Ref103319701 \ w \ h 5 ], [REF _Ref103319818 \ w \ h 14 ]).
Рішення. Користуючись тим, що це завдання вже була вирішена, розглянемо відразу систему

Розглянемо функцію при . Відзначимо, що ця функція оборотна і зворотного до неї є . Так як функція зростаюча, то загальні точки лежать на прямій . Отримуємо . Рішення якої нам відомо.
Відповідь. .
Приклад. Розв'язати рівняння .
Рішення. Розглянемо функцію і вони взаємно зворотні і зростаючі. Тоді рівносильно вихідному.
Відповідь. .
Приклад. Для вирішити рівняння .
Рішення. Очевидно , То . Розглянемо функцію . Вона зростає на . Отже, при ця функція оборотна, причому функція є для неї зворотного. Звідси . Зауважимо, що ми використовували функцію, що стоїть в правій частині рівняння, тому що такий вибір не змінює область визначення початкового рівняння. Рішення ж рівняння наведено було вище.
Відповідь. .
4.3. Графічний метод. Координатна площина (x; y)
Завдання, що містять параметр, вимагають до себе своєрідний підхід, тут необхідно грамотне і ретельне дослідження. Для застосування графічних методів потрібне вміння виконувати додаткове побудова різних графіків, вести графічні дослідження, відповідні даним значенням параметра.
Рівняння з параметром викликають серйозні труднощі логічного характеру. Кожне таке рівняння - це, по суті, стислий запис сімейства рівнянь. Ясно, що виписати кожне рівняння з нескінченного сімейства неможливо, але, тим не менш, кожне з них має бути вирішено. Легше всього це зробити за допомогою графічного представлення залежності змінної від параметра .
На площині функція задає сімейство кривих залежать від параметра . Нас буде цікавити за допомогою якого перетворення площини можна переходити до інших кривим сімейства (див. [REF _Ref103319362 \ w \ h 1 ], [REF _Ref103319917 \ w \ h 4 ], [REF _Ref103319701 \ w \ h 5 ], [REF _Ref103319929 \ w \ h 8 ], [REF _Ref103319934 \ w \ h 9 ], [REF _Ref103319939 \ w \ h 11 ], [REF _Ref103319947 \ w \ h 16 ]).
4.3.1. Паралельний перенос
Приклад. Для кожного значення параметра визначити число розв'язків рівняння .
Рішення. Побудуємо графік функції .
SHAPE \ * MERGEFORMAT

1

0

1

y

x

Рис. 1

Розглянемо . Це пряма паралельна осі ОХ.
Відповідь. Якщо , То рішень немає;
якщо , То 3 рішення;
якщо , То 2 рішення;
якщо , 4 рішення.
4.3.2. Поворот
Відразу слід зазначити, що вибір сімейства кривих не відрізняється одноманітністю (на відміну від самих завдань), а точніше він один: у всіх завданнях - Прямі. Більш того, центр повороту належить прямій.
Приклад. При яких значеннях параметра рівняння має єдине рішення?
Рішення. Розглянемо функцію і . Графік другої функції - це півколо з центром в точці з координатами і радіусом = 1 (рис. 2).
, Дуга АВ.

0

1

1

y

x

4

А

B

М

P

Рис. 2

Всі промені проходять між ОА і ОВ перетинаються в одній точці, також в одній точці перетинаються ОВ і ОМ (дотична). Кутові коофіціенти ОА і ОВ рівні відповідно . Кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює . Легко знаходиться із системи

Отже, прямі сімейства мають з дугою тільки одну спільну точку при .
Відповідь. .
Приклад. За яких рівняння має рішення?
Рішення. Розглянемо функцію . Досліджуючи її на монотонність дізнаємося, що вона зростає на проміжку і зменшується на . Точка - Є точкою максимуму.
Функція ж - Це сімейство прямих, що проходять через точку . Звернемося до малюнка 2. Графіком функції є дуга АВ. Прямі , Які будуть знаходитися між прямими ОА і ОВ, задовольняють умові завдання. Коефіцієнт нахилу прямої ОА є число , А ОВ - .
Відповідь. При рівняння має 1 рішення;
при інших значеннях параметра рішень немає.
4.3.3. Гомотетія. Стиснення до прямої
Приклад. Знайти всі значення параметра , При кожному з яких рівняння має рівно 8 рішень.

0

1

1

y

x

Рис. 3

Рішення. Маємо . Розглянемо функцію . Перша з них задає сімейство півкіл з центром в точці з координатами , Друге сімейство прямих паралельних осі абсцис.
Число коренів буде відповідати числу 8 тоді, коли радіус півкола буде більше і менше , Тобто . Зауважимо, що є .
Відповідь. або .
4.4. Графічний метод. Координатна площина (x; a)
Взагалі, рівняння, що містять параметр, не забезпечені будь-якої чіткої, методично оформленої системою рішення. Ті чи інші значення параметра доводиться шукати на дотик, перебором, вирішуючи велику кількість проміжних рівнянь. Такий підхід далеко не завжди забезпечує успіх у відшуканні всіх значень параметра, при яких рівняння не має рішень, має одне, два і більше рішень. Найчастіше частина значень параметра губляться або з'являються зайві значення. Для того щоб ці останні, доводиться проводити спеціальне дослідження яке може виявитися досить важким.
Розглянемо метод, що спрощує роботу з розв'язання рівнянь з параметром. Метод полягає в наступному
1. З рівняння зі змінною x і параметра a висловимо параметр як функцію від x: .
2. У координатній площині xOa будуємо графік функції .
3. Розглянемо прямі і виділимо ті проміжки осі Oa, на яких ці прямі задовольняють таким умовам: a) не перетинає графік функції , Б) перетинає графік функції в одній точці, в) у двох точках, г) у трьох точках і так далі.
4. Якщо поставлено завдання знайти значення x, то висловлюємо x через a для кожного з знайдених проміжків значення a окремо.
Погляд на параметр як на рівноправну змінну знаходить своє відображення в графічних методах. Таким чином, виникає координатна площина . Здавалося б, така незначна деталь, як відмова від традиційного позначення координатної площини літерами x і y визначає один з ефективних методів розв'язання задач з параметрами.
Описаний метод дуже наочний. Крім того, в ньому знаходять застосування майже всі основні поняття курсу алгебри і початків аналізу. Задіюється весь набір знань, пов'язаних з дослідженням функції: застосування похідної до визначення точок екстремуму, знаходження межі функції, асимптот і т. д. (див. [REF _Ref103319362 \ w \ h 1 ], [REF _Ref103319701 \ w \ h 5 ], [REF _Ref103319993 \ w \ h 23 ]).

0

1

1

a

x

1

Приклад. При яких значеннях параметра рівняння має два кореня?
Рішення. Переходимо до рівносильній системі


З графіка видно, що при рівняння має 2 корені.

Рис. 4

1

0

1

1

a

x

1

-1

Рис. 5

Відповідь. При рівняння має два корені.
Приклад. Знайдіть множину всіх чисел , Для кожного з яких рівняння має тільки два різних кореня.
Рішення. Перепишемо дане рівняння в наступному вигляді:

Тепер важливо не упустити, що , і - Коріння вихідного рівняння лише за умови . Звернемо увагу на те, що графік зручніше будувати на координатній площині . На малюнку 5 шуканий графік - об'єднання суцільних ліній. Тут відповідь «зчитується» вертикальними прямими.
Відповідь. При , Або , Або .
5. Дослідне викладання
Програма факультативних занять на тему «Методи розв'язання рівнянь, що містять параметр».
Курс краще вивчати в 11 класі, так як рівняння такого виду містять завдання підсумкової атестації. Курс розрахований на систематизацію методів розв'язання рівнянь, що містять параметр і їх класифікацію. Всі методи, розглянуті в даній роботі, розглядатимуть на факультативах не має сенсу. Необхідно розглянути основні методи розв'язання найбільш часто зустрічаються на випускних і вступних іспитах, а саме, методи розв'язання квадратних рівнянь, лінійних, аналітичний та графічний методи і методи розв'язання рівнянь методом дослідження області значення функції.
Цілі факультативу:
1. ознайомити учнів з деякими методами вирішення рівнянь, що містять параметр;
2. показати застосування різних методів при вирішенні рівнянь одного типу;
3. формувати вміння бачити раціональний метод для вирішення конкретних типів рівнянь, що містять параметр;
4. формувати логічне мислення;
5. формувати наполегливість, цілеспрямованість, працьовитість через рішення складних завдань;
6. розвивати математичну мову з властивою їй стислістю, точністю і лаконічністю;
7. підготувати учнів до вступу у ВНЗ.
Планування:
Даний курс розрахований на 16 годин. Заняття проводяться по дві години. У ці години не входить час, наданий для перевірки знань та вмінь і повторення.
Короткий зміст занять
Заняття № 1.
Тема: Параметр і рішення лінійних рівнянь і найпростіших квадратних рівнянь з параметром.
Воно проведено і розглянуто в дослідному викладанні.
Заняття № 2.
Тема: Квадратні рівняння. Дискримінант. Старший коефіцієнт.
Мета заняття: познайомити учнів з методом дослідження дискриминанта і старшого коефіцієнта квадратних рівнянь, що містять параметр.
Література для вчителя: див. [REF _Ref103319362 \ r \ h 1 ], [REF _Ref103319710 \ r \ h 6 ], [REF _Ref103319952 \ r \ h 18 ], [REF _Ref103320026 \ r \ h 21 ], [REF _Ref103320139 \ r \ h 22 ].
Література для учня: див. [REF _Ref103320026 \ r \ h 21 ], [REF _Ref103320139 \ r \ h 22 ]
Короткий зміст: щодо знака дискриминанта і старшого коефіцієнта визначити кількість коренів і знайти їх, визначити при яких значеннях параметра функція стосується осей координат. Використання таблиці № 1 (стор. REF Таблиця \ h PAGEREF Таблиця \ # "0" \ h 38 _Ref106348874 \ H ) При вирішенні рівнянь.
Заняття № 3.
Тема: Квадратні рівняння. Розташування коренів.
Мета заняття: навчити знаходити місце розташування коренів рівняння щодо деякої точки або двох точок.
Література для вчителя: див. [REF _Ref103319362 \ r \ 1 h ], [REF _Ref103319710 \ r \ h 6 ], [REF _Ref103319952 \ r \ h 18 ], [REF _Ref103320026 \ r \ h 21 ], [REF _Ref103320139 \ r \ h 22 ].
Література для учня: див. [REF _Ref103320026 \ r \ h 21 ], [REF _Ref103320139 \ r \ h 22 ]
Короткий зміст: використовуються теорема Вієта (корені рівняння задовольняють системі ) І вершина параболи, для визначення розташування коренів щодо деяких точок координатної осі.
Заняття № 4.
Тема: Аналітичний метод. Метод «розгалужень».
Мета заняття: познайомити учнів з основним методом вирішення рівнянь, що містять параметр.
Література для вчителя: див. [REF _Ref103319362 \ r \ h 1 ], [REF _Ref103319701 \ r \ h 5 ], [REF _Ref103319710 \ r \ 6 h ], [REF _Ref103319628 \ r \ h 7 ], [REF _Ref103319818 \ r \ h 14 ]
Література для учня: див. [REF _Ref106347785 \ r \ h 3 ]
Короткий зміст: розгляд різних значень, прийнятих параметром. Спрощення рівняння і приведення рівняння до твору многочленів або виділення повного квадрата. Складання системи логічних обстежень, при яких використовується один з вище наведених способів спрощення рівняння.
Заняття № 5.
Тема: Аналітичний метод. Параметр як рівноправна змінна.
Мета заняття: показати учням, що рівняння, що містять параметр, можна вирішувати не тільки щодо змінної, але і щодо параметра.
Література для вчителя: див. [REF _Ref103319362 \ r \ h 1 ], [REF _Ref103319701 \ r \ h 5 ], [REF _Ref103319710 \ r \ h 6 ], [REF _Ref103319628 \ r \ h 7 ], [REF _Ref103319818 \ r \ h 14 ]
Література для учня: див. [REF _Ref106347785 \ r \ h 3 ]
Короткий зміст: рішення рівнянь щодо параметра. Рішення рівнянь, що не містять параметра, але використання методів розв'язання рівнянь, що містять параметр. Наприклад: рішення рівняння четвертого ступеня не щодо змінної, а щодо числа (п. REF _Ref106349890 \ r \ h 4.1.4 ).
Заняття № 6.
Тема: Метод дослідження області значення функції.
Мета заняття: навчити учнів використати область значення функції.
Література для вчителя: див. [REF _Ref103319362 \ r \ h 1 ], [REF _Ref106348140 \ r \ h 15 ]
Література для учня: див. [REF _Ref106348140 \ r \ h 15 ]
Короткий зміст: якщо необхідно знайти, при яких значеннях змінної дві функції рівні, а перетинання їх областей значень є одне значення, то обидві функції можна прирівняти до цього значення і знайти значення змінної ( і , А , То рівняння рівносильне системі ).
Учні при вивченні області значення часто не розуміють її практичного значення. Це заняття покаже їм, як можна використовувати дане властивість функцій.
Заняття № 7.
Тема: Графічний метод. Координатна площина (x, y).
Мета заняття: навчити використовувати, при вирішенні рівнянь, координатну площину.
Література для вчителя: див. [REF _Ref103319362 \ r \ h 1 ], [REF _Ref103319917 \ r \ h 4 ], [REF _Ref103319934 \ r \ h 9 ], [REF _Ref103319939 \ r \ h 11 ], [REF _Ref103319862 \ r \ h 19 ], [REF _Ref106348217 \ r \ h 24 ]
Література для учня: див. [REF _Ref103319939 \ r \ h 11 ], [REF _Ref106348217 \ r \ h 24 ]
Короткий зміст: Основою розв'язання рівнянь даним методом є побудова графіків функцій правої і лівої частин і розгляд кількості точок перетину в залежності від значення параметра. Тому завдання вирішуються даним методом мають свою специфіку, а саме, розглядаються задачі на знаходження кількості коренів рівняння при різних значеннях параметра.
Заняття № 8.
Тема: Графічний метод. Координатна площина (x, а).
Мета заняття: навчити використовувати, при вирішенні рівнянь, координатну площину (x, а); показати особливості вирішення за допомогою цієї площини.

Література для вчителя: см. [REF _Ref103319362 \ r \ h 1 ], [REF _Ref103319934 \ r \ h 9 ], [REF _Ref103319862 \ r \ h 19 ]
Література для учня: див. [REF _Ref103319862 \ r \ h 19 ]
Короткий зміст: на відміну від попереднього заняття тут використовується координатна площина (x, а) при вирішенні рівнянь, що містять параметр.
Дослідне викладання.
Дослідне викладання здійснювалося під час проходження практики на V курсі. Практика проходила в 10 класі 28 школи. Було розроблено і проведено два заняття на тему «Параметр і рішення лінійних і найпростіших квадратичних рівнянь з параметром».
Цілі занять:
1. ввести поняття параметра;
2. навчити вирішувати лінійні і найпростіші квадратичні рівняння з параметром;
3. повторити методи розв'язання квадратних рівнянь;
4. навчити мислити логічно;
5. навчити бачити особливі значення параметра, яким відповідають приватні рішення даного рівняння;
Література для вчителя: див. [REF _Ref103319362 \ r \ h 1 ], [REF _Ref106347785 \ r \ h 3 ], [REF _Ref103319947 \ r \ h 16 ]
Література для учня: див. [REF _Ref106347785 \ r \ h 3 ], [REF _Ref103319947 \ r \ h 16 ]
Розробка факультативного заняття на тему: «Параметр і рішення лінійних рівнянь і найпростіших квадратних рівнянь з параметром».
Хід заняття.
Для того щоб зрозуміти, що таке параметр розберемо кілька простих прикладів, за допомогою яких ми і спробуємо зрозуміти сенс параметра.
Розглянемо рівняння (1).
Задамо собі запитання, як ми будемо вирішувати це рівняння. При розподілі на невідому величину необхідно врахувати, що ця величина може бути дорівнює нулю. Розглянемо випадок коли .
При отримуємо наступне рівняння , Яке не має рішення. Якщо ж , То ми можемо розділити на a і отримаємо .
Тепер запишемо відповідь, але потрібно враховувати те, що ми розглядали різні значення невідомої а і тому відповідь потрібно записувати для всіх випадків.
Відповідь. При ;
При немає коренів.
Наступне рівняння (2) також як і (1) вимагає розгляду випадків, коли коефіцієнт при дорівнює нулю чи ні.
Рішення.
, Тобто або . При першому значенні ми отримуємо рівняння , У якого рішень немає, а при другому значенні отримуємо рівняння , Рішенням якого є все безліч дійсних чисел.
Якщо , То ми можемо розділити на коефіцієнт при х і отримаємо .
Запишемо відповідь.
Відповідь. Якщо , То ;
Якщо , То немає рішення;
Якщо і , То .
Далі розглянемо рівняння (3).
Рішення.
Вирішуємо це рівняння методом угруповання

і отримуємо
Відповідь. .
У цьому рівнянні ми не розглядали різні значення, що приймаються невідомою а, так як при вирішенні нам не доводилося ділити на а.
Вирішуючи ці три рівняння, ми мали справу з рівняннями, що містять параметр, де - Це елемент. Отже, давайте спробуємо дати визначення параметру. Ми дізналися про параметр, вирішуючи ці три рівняння, що параметр є невідома, тому що він (параметр) приймав різні значення, але, з іншого боку, ми вирішували ці рівняння, приймаючи параметр за відому величину. Отже, параметр - це невідома, за деяких значеннях якої необхідно розглядати і вирішувати приватні рівняння. Ці значення називаються особливими. У першому рівнянні особливим значенням параметра було значення невідомої а, рівне нулю, у другому - рівне 1 і -1, а в третьому особливих значень немає.
Зараз розглянемо ще два рівняння, вирішити які пропонується учням.
.
Рішення першого:
a. Якщо , То рішень немає, так як рівняння не має сенсу.
b. Якщо , То

так як розподіл на вираз з параметром немає, то додатково розглядати різні значення, що приймаються параметром не потрібно. Тобто .
Відповідь. Якщо , То рішень немає;
Якщо , То .
Рішення другого:
Для початку знайдемо, які значення може приймати параметр. Для цього необхідно вирішити систему , Рішенням якої є проміжок .
Тепер вирішуємо саме рівняння. У ході рішення у нас знову немає необхідності розглядати будь-які додаткові умови.
Отримуємо, що .
Для тих значень параметра, які не увійшли в область значень параметра рівняння не має коренів.
Відповідь. Якщо , То ;
Якщо , То коріння немає.
Для рівнянь, у вирішенні яких розглядається різні значення параметра, будемо користуватися наступним алгоритмом рішення.
Алгоритм.
1. Знаходимо область значень параметра.
2. Для тих значень параметра, які входять в область:
a. Знаходимо особливі значення параметра, при яких, містить параметр вираз, на яке відбувається розподіл, звертається до 0. Для них розглядаємо рівняння, які вийшли при підстановці значень параметра.
b. Вирішуємо рівняння, виключаючи ці значення.
3. Для тих значень параметра, які не входять в область - коренів немає.
4. Збираємо всі значення параметра і відповідні їм значення невідомої записуємо відповідь.

Далі вирішимо, використовуючи алгоритм, наступне рівняння .
Рішення. Це лінійне рівняння. Знайдемо область значення приймаються параметром - .
Для . Розглянемо , «Нульове» значення. Отримуємо рівняння , Яке не має рішення. Якщо , То вирішуємо рівняння . Рішенням, якого є .
Для - Рішень немає.
Відповідь. Для ;
Для - Коренів немає.
Отже, підіб'ємо підсумок. При вирішенні рівнянь, що містять параметр, існують особливі способи рішення. Головною відмінністю є те, що при вирішенні відбувається перебір значень параметра і розгляду для цих значень відповідного значення невідомою.
Домашнє завдання.
Вирішити рівняння:
1. .
2. .
3. .
Висновки: Під час проведення занять було виявлено, що учні не мають ні найменшого уявлення про те, що таке параметр і зустрілися на практиці з рівнянь, що містять параметр, вперше. Це ускладнило мою роботу, яка полягала в тому, щоб дати учням образне поняття про параметр, а так само загальне уявлення про те, як вирішуються лінійні і найпростіші квадратні рівняння, що містять параметр.

Висновок
При проведенні дослідження були вирішені такі завдання:
1. проведено аналіз чинних шкільних підручників з алгебри та початків аналізу з метою виявлення використання параметра і методів розв'язання рівнянь з параметром. Проведений аналіз дозволяє зробити наступні висновки:
· У кожному проаналізовані підручники завдання, що містять параметр, використовується для перевірки знань і вмінь, набутих під час вивчення тієї чи іншої теми. Пропонуються завдання творчого характеру, що вимагають від учнів застосування отриманих знань і умінь у нестандартних умовах;
· Ні в одному з розглянутих підручників не дається чіткого визначення параметра;
· У всіх підручниках завдання однотипні;
2. виділені класи рівнянь, що містять параметр, і загальні їх методи вирішення;
3. показано, що методи, викладені у цій роботі, застосовні для вирішення всіх видів рівнянь, що містять параметр. Тригонометричні рівняння, що містять параметр, при проведенні даного дослідження спеціально не були виділені. Для даного класу рівнянь існує велика кількість специфічних методів рішення. Дослідженню яких може бути присвячена окрема робота;
4. всі методи рішення рівнянь, що містять параметр, розглядаються на факультативних заняттях, але можливо так само і розгляд деяких методів розв'язання рівнянь, що містять параметр, в основний час вивчення курсу алгебри і початків аналізу, наприклад, методу розв'язання квадратних рівнянь з параметром. Враховуючи, що рівняння, що містять параметр, зустрічаються вже в 7 класі, можна розбити всі методи рішення рівнянь, що містять параметр, на групи, які можливо розглянути під час навчальних занять;
5. розроблена програма факультативних заняття тему «Методи розв'язання рівнянь, що містять параметр»;
6. в ході дослідження також було здійснено дослідне викладання.

Література
Основна література
1. Горнштейн, П.І. Завдання з параметрами [Текст]: навч. посібник / П.І. Горнштейн, В.Б. Полонський, М.С. Якір - Київ, 1992.
2. Дорофєєв, Г.В. Квадратний тричлен у задачах. [Текст] - Львів: Квантор, 1991.
3. Здоровенко, М.Ю. Вчимося вирішувати завдання з параметрами: раціональні рівняння і нерівності. [Текст] / М.Ю. Здоровенко, В.М. Караулов - Кіров, 1999.
4. Івлєв Б.М. Завдання підвищеної труднощі з алгебри та початків аналізу для 10-11 класів. [Текст] / Б.М. Івлєв, А.М. Абрамов и др. - М.: Просвещение, 1990.
5. Ястребінецкій Г.А. Завдання з параметрами [Текст]: Книга для вчителя. - М.: Просвещение, 1986.
Додаткова література
6. Горбачов, В.І. Загальні методи рішення рівнянь і нерівностей з параметрами [Текст] / В.І. Горбачов / / Математика в школі - 1999. - № 6. - С. 60-68.
7. Горбачов, В.І. Загальні методи рішення рівнянь і нерівностей з параметрами не вище другого ступеня [Текст] / В.І. Горбачов / / Математика в школі - 2000. - № 2. - С. 61-68.
8. Дегтяренко, В.А. Три рішення однієї задачі з параметром [Текст] / В.А. Дегтяренко / / Математика в школі - 2001. - № 5. - С. 62-64.
9. Джіоєв, Н.Д. Знаходження графічним способом числа рішень рівнянь з параметром [Текст] / Н.Д. Джіоєв / / Математика в школі - 1996. - № 2. - С. 54-57.
10. Євсєєва, А.І. Рівняння з параметрами [Текст] / А.І. Євсєєва / / Математика в школі - 2003. - № 7. - С. 10-17.
11. Єпіфанова, Т.М. Графічні методи вирішення завдань з параметрами [Текст] / Т.М. Єпіфанова / / Математика в школі - 2003. - № 7. - С. 17-20.
12. Зубов, А.Б. Використання симетрії при аналізі систем з параметрами [Текст] / А. Б. Зубов / / Математика в школі - 2002. - № 5. - С. 56-63.
13. Кожухов, С.К. Про один клас параметричних задач [Текст] / С.К. Кожухов / / Математика в школі - 1996. - № 3. - С. 45-49.
14. Кожухов, С.К. Різні способи вирішення завдань з параметром [Текст] / С.К. Кожухов / / Математика в школі - 1998. - № 6. - С. 9-12.
15. Кожухова, С.А. Властивості функцій у задачах з параметром [Текст] / С.А. Кожухова, С.К. Кожухов / / Математика в школі - 2003. - № 7. - С. 17-24.
16. Корміхін, А.А. Про рівняння з параметром [Текст] / А.А. Корміхін / / Математика в школі - 1994. - № 1. - С. 33-35.
17. Кочерова, К.С. Про рівняння з параметром і модулем (графічний спосіб вирішення) [Текст] / К.С. Кочерова / / Математика в школі - 1995. - № 2. - С. 2-4.
18. Мещерякова, Г.П. Завдання з параметрами, що зводяться до квадратних рівнянь [Текст] / Г.П. Мещерякова / / Математика в школі - 2001. - № 5. - С. 60-62.
19. Мещерякова, Г.П. Функціонально-графічний метод розв'язання задач з параметром [Текст] / Г.П. Мещерякова / / Математика в школі - 1999. - № 6. - С. 69-71.
20. Мещерякова, Г.П. Рівняння та нерівності з параметром і завдання на екстремум [Текст] / Г.П. Мещерякова, І.І. Чуча / / Математика в школі - 1999. - № 6. - С. 72-74.
21. Неіскашова, Є.В. Квадратний тричлен у задачах вступних іспитів [Текст] / Є.В. Неіскашова / / Математика в школі - 2001. - № 8. - С. 24-26.
22. Постнікова, С.Я. Рівняння з параметрами на факультативних заняттях [Текст] / С.Я. Постнікова / / Математика в школі - 2002. - № 8. - С. 45-46.
23. Потапов, М.К., Шовкун О.В. Про рішення рівнянь виду [Текст] / М.К. Потапов / / Математика в школі - 2003. - № 8. - С. 12-14.
24. Ратніков, Н.П. Від рівняння з параметром - до графіка, що задає параметр [Текст] / Н.П. Ратніков / / Математика в школі - 1990. - № 3. - С. 80.
25. Алгебра [Текст]: підручник для 7 класу середньої школи / Ш.А. Алімов [и др.]; відп. ред. О.М. Тихонов. - М.: Просвещение, 1991.
26. Алгебра [Текст]: підручник для 9 класу середньої школи / Ш.А. Алімов [и др.]; відп. ред. О.М. Тихонов. - М.: Просвещение, 1992.
27. Алгебра і початки аналізу [Текст]: підручник для 10-11 класу середньої школи / Ш.А. Алімов [и др.]; відп. ред. О.М. Тихонов. - М.: Просвещение, 1993.
28. Алгебра [Текст]: підручник для 7 класу середньої школи / Ю.М. Макаричєв [и др.]; відп. ред. С.А. Теляковського. - М.: Просвещение, 1989.
29. Алгебра [Текст]: підручник для 9 класу середньої школи / Ю.М. Макаричєв [и др.]; відп. ред. С.А. Теляковського. - М.: Просвещение, 1990.
30. Алгебра 7 клас [Текст]: У двох частинах. Ч.1: підручник для загальноосвітніх установ / О.Г. Мордкович [и др.]; відп. ред. А.Г. Мордкович. - М.: Просвещение, 2000.
31. Алгебра 7 клас [Текст]: У двох частинах. Ч.2: задачник для загальноосвітніх закладів / О.Г. Мордкович [и др.]; відп. ред. А.Г. Мордкович. - М.: Просвещение, 2000.
32. Алгебра 8 клас [Текст]: У двох частинах. Ч.1: підручник для загальноосвітніх установ / О.Г. Мордкович [и др.]; відп. ред. А.Г. Мордкович. - М.: Просвещение, 2000.
33. Алгебра 8 клас [Текст]: У двох частинах. Ч.2: задачник для загальноосвітніх установ / О.Г. Мордкович [и др.]; відп. ред. А.Г. Мордкович. - М.: Просвещение, 2000.
34. Алгебра 9 клас [Текст]: У двох частинах. Ч.1: підручник для загальноосвітніх установ / О.Г. Мордкович [и др.]; відп. ред. А.Г. Мордкович. - М.: Просвещение, 2002.
35. Алгебра 9 клас [Текст]: У двох частинах. Ч.2: задачник для загальноосвітніх установ / О.Г. Мордкович [и др.]; відп. ред. А.Г. Мордкович. - М.: Просвещение, 2002.
36. Алгебра і початки аналізу 10-11 клас [Текст]: У двох частинах. Ч.1: підручник для загальноосвітніх установ / О.Г. Мордкович [и др.]; отв. ред. А.Г. Мордкович. - М.: Просвещение, 2003.
37. Алгебра і початки аналізу 10-11 клас [Текст]: У двох частинах. Ч.2: задачник для загальноосвітніх установ / О.Г. Мордкович [и др.]; отв. ред. А.Г. Мордкович. - М.: Просвещение, 2003.